SAXに魅力を感じ始めてみたいと思っているのですが、楽器も持っていないし、うまくなれるか、続けられるか不安です。

とにかくやってみなければ 、何事も始まりません。
ですが、サックスをまだ持っていないのなら、街の楽器店で衝動買いするのはお勧めできません。サックスは同じメーカーの同じランクの楽器でも、一本一本個性があり、新品でもバランス、息もれ等の問題はつき物です。管楽器専門店でアドバイスを受けるか、もしくはある程度サックスを吹ける方に選んでもらいましょう。
もちろん、Breath Fieldにご相談いただければサックス購入に際しての注意点をお話した後、数件の管楽器店より状態の良い掘り出し物をお選びいたします。誤解を覚悟で申し上げますが、SAXはそれほど演奏することが難しい楽器ではありません。是非臆せずトライしてみてください。

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あまり音楽に詳しくありません。サックスの音楽やジャズなど、難しそうで、ほとんど聴いたことがないのですが。

レッスンでは、ジャズに限らず、好きな曲、吹いてみたい曲を一緒に練習したり、演奏だけではなく、聴く愉しみもナビゲートします。
ジャズも、簡単な歴史を知ると、さらに音楽を実感でき、楽しみも広がります。

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譜面が苦手です。今まで、きちんと譜面を読む勉強をしたこともないし、特に♭が大キライです。

譜面は表記。レベルに応じて、ゆっくりトレーニングすれば、読めるようになります。ブレスフィールドは完全個人レッスンですので、一人ひとりのレベルに合わせて、ていねいにステップアップを目指します。ご安心ください。

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SAXを始めてはみたけれど、思うように扱えずストレスを感じています。やっぱり自分にはSAXは向いてないのかなと悩んでいます。

まずSAXという楽器をよく知る必要があるでしょう。
楽器やリードの状態はもちろん、アンブシャー（くわえかた）、フィンガリングなど、基本的なところでの問題をクリアすることが第一です。ていねいに、良い音作りに励みましょう。
楽に気持ちの良い音がでるようになれば、好きな曲にもどんどん挑んでいく気持ちになっていくでしょう。

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SAXを吹くことが趣味となっていますが、最近あまり上達しないように感じて、練習方法にも疑問を感じています。

練習方法に問題があるかも知れません。また演奏時のメンタル面も大切です。ある程度長い間SAXに携わっていけば、最初の頃の新鮮な思い入れは無くなっていくものです。自分の大好きなアーティストの演奏を聴きながら、自分だったら…と感情移入をし、鳥肌が立つような思いを感じる。そんな当たり前のことが、コアに必要です。
練習のための練習に陥らずに、確かな目標とそれにむかうステップの設定はとても重要です。漠然と練習せずにトピックを決め取組むことです。

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SAXをライブ等で演奏していて、さらに飛躍したいと願っていますが、具体的にどうしたらいいのか分かりません。

人を魅了するという意識と、自分自身の好きなサウンドを追求することのバランスを大切にしてください。
自分はなにがやりたいのかを探りながら、それに応じた適切なトレーニングが出来ているでしょうか？憧れのミュージシャンを研究し、そこにできる限り自分らしさを織り込んでいく。ポイントを絞り、決して自らを見失わないように。